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Rev Cubana Oncol 1997;13(2):96-103
Instituto de Medicina del Trabajo. Ciudad de la Habana, Cuba

Solución analítica al blindaje de locales de teleterapia con Co-60 según una ecuación semiempírica de atenuación de fotones

Lic. David G. Sáez,1 Dr. José M. Hernández,2 Lic. Marisela Borroto3 y Lic. Mario Figueredo 4

RESUMEN

Se presenta la parametrización de una ecuación semiempírica de tipo exponencial-polinomial para la descripción de la transmisión de las diferentes calidades de la radiación gamma del Co-60 en medios finitos de hormigón (p = 2350 Kgm-3) y plomo. Esta ecuación unida a la expresión obtenida para la relación de dispersión, facilitaron la implementación en computadora de una solución analítica para la estimación de blindajes en locales de teleterapia con Co-60. Se obtuvo una adecuada correlación entre los valores de transmisión calculados y los datos experimentales correspondientes. El error estándar en la estimación de los parámetros para todos los casos es inferior al 1,7 %, excepto para el caso de la atenuación en hormigón de la radiación dispersada según 150E que para uno de los parámetros resultó un error del 6,3 %. Se comparan los espesores de blindaje obtenidos con los valores ofrecidos por el Consejo de Protección contra las Radiaciones de los EE.UU. para las condiciones observándose una buena correlación. El programa de cálculo desarrollado adquiere aplicación práctica en el diseño y la comprobación de los blindajes en instalaciones de cobaltoterapia.

Descriptores DeCS: ARQUITECTURA Y CONSTRUCCION DE INSTITUCIONES DE SALUD/normas; SERVICIO DE MEDICINA NUCLEAR EN HOSPITAL; PROTECCION RADIOLOGICA/normas; MATERIALES DE CONSTRUCCION/normas.

El cálculo de blindajes contra haces de fotones de uso médico es llevado a cabo por muchos especialistas, sobre la base de las recomendaciones brindadas por el Consejo Nacional de Protección contra las Radiaciones de los EE.UU en su reporte No. 49 (NCRP49),1 criterios sustentados además por la Comisión Internacional de Protección Radiológica (CIPR).2 En este reporte se incluyen a los generadores de rayos X diagnóstico y terapéuticos, así como a las distintas fuentes de radiaciones gamma empleadas en radioterapia. Sin embargo, en teleterapia, sólo un reducido número de fuentes gamma son utilizadas para el tratamiento, y de éstas, las de Co-60 son las que en mayor número encontramos.

La metodología del NCRP49, consiste de un proceso de varios pasos que finalmente involucra la lectura aproximada del espesor de blindaje de la curva de atenuación correspondiente. La precisión de estas estimaciones se ve más afectada para el cálculo de los requerimientos contra la radiación dispersa, donde la relación de dispersión y la transmisión son una función del ángulo de dispersión. Este problema cobra importancia al implementar los cálculos en computadoras, cuestión que se facilitaría con el empleo de ecuaciones analíticas.3-6

Simpkin,5 brinda una solución general para haces de fotones de uso médico que contempla al NCRP49, pero dejando la toma de los datos de transmisión a la lectura de éstos a las curvas experimentales publicadas. Por otra parte, Miller y Cember6 realizan un cálculo simplificado de los espesores de blindaje para la radiación dispersa del Co-60, aunque sólo para el material de hormigón.

El propósito de este trabajo es brindar una solución analítica al cálculo de blindaje de instalaciones de teleterapia con Co-60, a partir de una descripción numérica de las curvas de transmisión de las diferentes calidades de la radiación gamma del Co-60 en plomo y hormigón (r = 2350 kgm3), así como de su relación de dispersión para de esta forma, facilitar la implementación en computadora de una solución analítica basada en el método de Simpkin5 y las recomendaciones del NCRP49, para el caso específico de este tipo de fuente.

MÉTODO

El NCRP49 basa la estimación de blindajes en la clasificación de la barrera como primaria o secundaria y la aplicación en cada caso de las consideraciones correspondientes. Simpkin,5 contempla la posibilidad de la incidencia de las diferentes calidades del haz de radiación sobre una misma barrera a partir del análisis del factor de uso U y asume que existen diferentes transmisiones, al atravesar un espesor S de material, dadas por Bug(S), Bsg(S) y Blg(S) para la radiación útil, dispersa y de fuga, respectivamente. Sin una barrera protectora, éstas calidades del haz crean en el punto de interés, en la semana, exposiciones diferentes Xu, Xs y X1, por lo que la exposición total que se tendrá, a través de dicha barrera, se puede expresar como la suma de cada una de estas contribuciones según:

X(S) = SBig(S). Xi(S)

donde i=u,s,1 (notación NCRP49), en dependencia de la calidad de la radiación (útil, dispersa y fuga).

Como cada exposición Xu, Xs y X1, tienen que ser reducidas individualmente al valor de exposición de diseño aceptado P, se introducen los coeficientes de transmisión necesarios, para esto, Bug Bsg y Blg mediante P = Big. Xi. A partir de estas consideraciones puede obtenerse la expresión de Simpkin, que para una sola fuente de radiación se puede escribir como:

X(S)/P = SiBig(S)/Big (1)

Si se sustituyen en (1) los coeficientes Big de las ecuaciones 4,5d y 6g del NCRP49, pero agregándoles a los denominadores de dichas ecuaciones relacionadas con la radiación secundaria el término 1-U para así considerar su contribución cuando se tenga una barrera primaria con factor de uso U < 1, si se trabaja algebraicamente, se puede obtener:

 X(S)    W.T  [U.Bug(S)    a.(1-U).F.Bsg(S)   (1-U).B1g(S)] (2)

----- = ----- --------- + ----------------- + ------------- 

  P       P     dpri2      400 . dsec2dsca2      1000.dsec2
donde, para consideración isocéntrica:

dpri: es la distancia en metros desde el isocentro hasta el área a proteger en la dirección del haz útil,

dsec: la distancia mínima en metros desde el isocentro hasta el área a proteger en la dirección de la barrera secundaria,

dsca: distancia en metros desde la fuente hasta el isocentro,

W: carga de trabajo en Gy/semana en la posición del isocentro que define el grado de uso de la fuente de radiación,

U: factor de uso que define el grado de uso del haz útil hacia una barrera determinada, (1-U): contribución de la radiación secundaria (dispersa y de fuga),

T: factor de ocupación que define el grado de ocupación del área a proteger,

F: máxima área del campo a irradiar y

a: relación de dispersión.

Una explicación más detallada de cada uno de estos parámetros se encuentra en el NCRP49.1

IMPLEMENTACIÓN DE LOS CÁLCULOS

El espesor de blindaje requerido en una barrera protectora de un local de teleterapia con Co-60 puede obtenerse de la ecuación 2 encontrando el valor de espesor S para el cual X(S) no supera el límite P. De manera que el espesor mínimo es aquel que satisfaga la condición X(S)=P. Una solución analítica puede alcanzarse si los coeficientes Big(S), son descritos mediante una expresión numérica. En el caso de la radiación de fuga, el coeficiente Blg(S) puede describirse mediante una simple exponencial dependiente del espesor hemirreductor (EHR) y de S, debido a que la fuga es altamente filtrada y la radiación del Co-60 puede considerarse monoenergética,1,7 simplificándose el problema al encontrar una descripción numérica para los coeficientes correspondientes a la radiación útil y dispersa.

Es importante notar que la ecuación 2 contempla los casos extremos del NCRP49 al poder ser reducida al caso de una barrera únicamente primaria si U=1 y al de una barrera únicamente secundaria al hacer U=0.5

La carga de trabajo W puede ser calculada mediante la expresión W=D.t.8,9 dada en Gy/semana, donde D, es la potencia de kerma en aire en Gy/h en la dirección del haz útil y en la posición del isocentro y t, el tiempo efectivo de irradiación en la semana, el cual puede estimarse según:

t(h/semana)=(T.N.n)/60 (3)
donde T, es el tiempo promedio de irradiación por sesiones de tratamiento (min/ttmo); N el número de sesiones por día (ttmo/día); n, el número de días hábiles de operación por semana (días/semana) y 1/60, la conversión de minutos a hora.

Para la descripción analítica de los datos de transmisión de la radiación primaria y dispersa, a través de plomo y hormigón (p=2350 kg.m3), se leyeron las curvas de atenuación correspondientes, reproducidas en el anexo del NCRP49 a tamaño ampliado. Mediante un programa de cálculo estos valores se ajustaron de forma no lineal por mínimos cuadrados a una representación exponencial-polinomial sencilla que garantiza la atenuación de la radiación con el incremento del espesor y el reforzamiento de ésta (build-up), cuando se tiene un haz ancho paralelo de fotones. La misma tiene la forma:

Big(S)=(1 + a * S) * Exp(-k.S) (4)

donde a y k son parámetros de ajuste, cuyos valores dependen de la calidad de la radiación y del material de blindaje y para la radiación dispersa además, del ángulo de dispersión. La tabla 1, muestra los resultados del ajuste numérico, sus errores y otros datos de interés.

TABLA 1. Valores de los parámetros de ajuste de la ecuación 3 para los materiales de hormigón (r = 2350 kg . m-3) y plomo

Radiación primaria
material a ES % k ES % X2 reducida MD % DS cm
Rango                
hormigón -2,75210E-03 0,165 1,00497E-01 0,008 1,79058E-02 -25,6 +2,86 0-200
plomo 2,60065E-02 0,335 5,75708E-01 0,009 2,64300E-03 -12,4 +0,24 0-37,1
Radiación dispersa
hormigón a ES % k ES % X2 reducida MD % DS cm
Rango                
30o 1,44446E-03 0,098 1,09346E-01 0,001 1,13754E-04 -6,3 +0,60 0-128
45 o 2,60031E-03 0,274 1,18897E-01 0,005 2,14755E-04 +2,5 -0,21 0-119
60 o -7,31780E-04 0,477 1,20397E-01 0,003 8,72453E-05 +2,7 -0,22 0-114
90 o 4,90061E-03 1,623 1,56407E-01 0,038 1,82945E-04 -1,9 +0,13 0-91
120 o 6,73490E-03 0,091 1,73490E-01 0,003 4,55126E-04 -2,4 +0,15 0-82
150 o 1,34726E-04 6,325 1,94949E-01 0,004 1,72354E-03 +7,6 -0,38 0-71
plomo a ES % k ES % X2 reducida ES % DS cm
Rango                
30 o -1,89200E-02 0,361 6,63372E-01 0,015 3,26672E-04 -2,6 +0,04 0-20,1
45 o -1,73520E-02 0,862 8,32463E-01 0,023 1,00242E-04 -2,5 +0,03 0-16,2
60 o -2,55490E-02 0,164 9,74141E-01 0,006 4,54789E-04 -8,5 +0,09 0-13,7
90 o 1,03771E-01 0,837 1,62360E+00 0,032 2,20974E-03 -7,7 +0,05 0-8,9
120 o -1,83610E-02 0,070 3,33531E+00 0,009 7,95291E-03 -17,6 +0,06 0-3,8
150 o -1,45690E-01 1,081 5,29355E+00 0,043 1,80763E+02 +23,5 -0,20 0-2,5
Leyenda: ES: error estándar en la estimación del valor del parámetro en porciento.

MD: caso en que se obtuvo la máxima diferencia en porciento entre el valor del coeficiente de transmisión experimental (NCRP49) y el valor calculado.

DS: desviación en cm entre el espesor S correspondiente al caso de MD con respecto al valor que se obtiene según los gráficos del NCRP49.

Rango: rango de validez del ajuste en cm.

X2: resultados del estadístico Chi-cuadrado.

En el caso de la relación de dispersión, los datos también se tomaron del NCRP49, demostrándose que son una función de una potencia negativa fraccionaria del ángulo de dispersión, q (Figura) de la forma:

a= 1,5655 . q1,617

con un coeficiente de correlación cuadrático r2 = 0,984.

Figura 1
FIGURA. Dependencia de la relación de dispersión (a) con el ángulo de dispersión q.

A partir de estas expresiones se implementó una solución analítica en computadora la cual estima el espesor mínimo de blindaje para los materiales seleccionados, mediante un algoritmo iterativo de aproximaciones sucesivas, que garantiza una diferencia entre X(S) y P menor del 0,1 %. Para esto el intervalo del espesor S, es dividido a la mitad un número de veces suficiente para que se pueda alcanzar el criterio de convergencia aceptado, sustituyéndose el valor de S en las ecuaciones correspondientes y evaluándose su efecto en la ecuación 2. Una simple comparación entre X(S) y P, indica si ha de incrementarse o disminuirse el valor de S con la siguiente mitad del intervalo y así sucesivamente hasta que se cumpla la condición de aproximación exigida.

RESULTADOS

Las tablas 2 y 3 presentan los resultados de los espesores mínimos resultantes de la implementación computacional realizada para los materiales seleccionados. Estos resultados (columna A) se ofrecen comparativamente con los valores reportados en el NCRP49 para las mismas condiciones. Para poder hacer estas comparaciones, consideramos en los casos de barrera primaria, al haz útil con U=1, y para los ejemplos de barrera secundaria, solamente a la radiación dispersa. La correlación entre ambos valores resultó mayor del 99 % tanto para el hormigón como para el plomo.

TABLA 2. Ejemplos comparativos entre los espesores mínimos de blindaje obtenidos para el hormigón (r = 2350 kg . m-3) según el programa desarrollado con respecto a los resultados ofrecidos en el NCRP49

W Gy/sem
Distancia en metros
1200
1,5
2,1
3,0
600  
1,5
2,1
300    
1,5
Radiación
NCRP
A
B
NCRP
A
B
NCRP
A
B
primaria
125
126,9
-
119
120,5
-
112
113,7
-
fuga
62
59,9
-
55
53,5
-
48
46,7
-
Dispersa 30 o
87
88,2
88,4
81
82,2
74,5
75,4
75,6
 
45o
76,5
76,1
77,0
70,5
70,3
71,2
64,5
64,2
65,1
60 o
70
69,4
71,1
64,5
63,8
65,4
58,5
57,9
59,5
90 o
49,5
50,9
59,2
45
46,5
53,8
40,5
41,9
48,1
120 o
42,5
43,4
57,1
38,5
39,4
51,4
34,5
35,2
45,5
Leyenda:

dsca = 0,5 m, P = 0,001 Gy.

Columna A: resultados considerando cada calidad de la radiación por separado, barrera primaria

U = 1, barrera secundaria U = 0.

Columna B: Resultados para barreras secundarias con U = 0, al analizar la radiación dispersa junto con la radiación de fuga.

TABLA 3. Ejemplos comparativos entre los espesores mínimos de blindaje obtenidos para el plomo según el programa desarrollado con respecto a los resultados ofrecidos en el NCRP49

W Gy/sem
Distancia en metros
1200
1,5
2,1
3,0
600  
1,5
2,1
300    
1,5
Radiación
NCRP
A
B
NCRP
A
B
NCRP
A
B
primaria
23,5
23,7
-
22
22,5
-
21
21,3
-
fuga
11,5
11,2
-
10
10,0
-
9
8,7
-
dispersa 30 o
14
13,9
14,2
13
12,9
13,2
12
11,9
12,1
45o
10,5
10,4
11,8
9,5
9,6
10,8
9
8,8
9,7
60 o
8,5
8,4
11,3
8
7,7
10,1
7
7,0
9,0
90 o
5
5,0
11,2
4,5
4,6
10,0
4
4,1
8,7
120 o
2
2,0
11,2
2
1,9
10,0
1,5
1,7
8,7
Leyenda:

dsca = 0,5 m, P = 0,001 Gy.

Columna A: resultados considerando cada calidad de la radiación por separado, barrera primaria U = 1, barrera secundaria U = 0.

Columna B: resultados para barreras secundarias con U=0, analizando la radiación dispersa junto con la radiación de fuga.

El tercer valor mostrado en la tabla 2 (columna B), es el espesor que resulta para barreras secundarias cuando se realiza el análisis del haz disperso junto con la radiación de fuga.

Estos valores deben compararse con los resultados que se obtienen al seguirse la regla de "adición de un EHR" del NCRP49. Puede observarse como los espesores según dicha regla superan los resultados presentados hasta en más de un EHR, lo cual nos demuestra lo conservativo de la regla del NCRP49, máxime si se desea optimizar el material de blindaje, sobre todo para las instalaciones de cobaltoterapia, donde los espesores necesarios son de por si considerables.

En el caso de existencia de una barrera primaria donde además U < 1, el cálculo siempre se realiza considerando la contribución de la radiación secundaria (fuga y dispersa), la cual se tiene en cuenta en la fracción restante 1-U. El espesor requerido es aquel para el cual se obtenga la mayor contribución de la radiación dispersa, cuando se analicen los posibles ángulos de dispersión. Esta contribución es una corrección que se introduce en los resultados y que implica una diferencia en el espesor requerido superior en alguna cantidad a los resultados calculados según el NCRP49. Si se analiza una barrera "únicamente" primaria el cálculo se simplifica sólo al análisis del haz útil al ser U=1.

Para una barrera únicamente secundaria (U=0) igualmente se tomarían participantes en el proceso a la radiación de fuga y dispersa y no obstante, las barreras secundarias se encuentran sometidas preponderantemente a radiación dispersa, según 901,10; tiene que analizarse siempre los posibles ángulos de dispersión. Hay que tener en cuenta que para la radiación dispersa del Co-60, el espesor de blindaje es fuertemente dependiente del ángulo de dispersión.

Finalmente debe prestarse una rigurosa atención al valor calculado para la condición X(S)=P, sobre todo, cuando P sea el límite permisible de la dosis. En este caso sólo se dispondría del mínimo requerimiento de blindaje, por lo que durante la ejecución de un proyecto no debe disminuirse nunca el resultado obtenido. Algún factor de seguridad puede emplearse en los cálculos, con el objetivo de evitar esta situación, no obstante, a la luz de los nuevos límites de las dosis recomendadas por la CIPR,11 siempre debe imponerse un análisis costo-beneficio que garantice el blindaje óptimo con la protección adecuada.

DISCUSIÓN

Los parámetros de ajuste obtenidos para la ecuación semiempírica de atenuación de los fotones gamma del Co-60, nos permite contar con una expresión sencilla que nos describe la transmisión de las diferentes calidades del haz de radiación en medios finitos de hormigón y plomo. Esta ecuación unida a la expresión obtenida para la relación de dispersión facilitaron la implementación en computadora de una solución analítica para el cálculo de los espesores de blindaje requeridos en los locales de teleterapia con Co-60; Con ello se evitan errores inherentes a los cálculos tediosos y a la lectura de los parámetros tratados de gráficos y tablas.

El programa de cálculo desarrollado adquiere aplicación práctica en el diseño y comprobación de blindajes de locales de cobaltoterapia, cuestión de vital importancia en la explotación segura de una instalación de este tipo.

SUMMARY

The fitting of parameters of a semi-empirical equation of exponential polynomial type for the description of the transmission of the different qualities of gamma radiation from Co-60 in concrete and lead barriers (P = 2350 Kgm3), is reported. This equation, along with the expression obtained for the relation of scattering allowed for the implementation in computer systems of an analytic solution for the estimation of shielding designs in areas of teletherapy with Co-60. An adequate correlation between calculated transmission values and the corresponding experimental data was obtained. The standard error in the estimation of the parameters for all cases was found to be lower than 1.7 % with one exception for the case of attenuation in concrete of the scattered radiation according to 150E which yielded an error of 6.3 % for one of the parameters. The thickness of the shielding obtained are compared with values offered by the Council for the Protection against Radiation of the United States of America. A good correlation was observed. The program of calculation developed has a practical application in the desing and the evaluation of shielding desings in facilities for cobalt therapy.

Subject headings: ARCHITECTURE AND CONSTRUCTION OF HEALTH INSTITUTIONS/standards; NUCLEAR MEDICAL SERVICES IN HOSPITALS; RADIOLOGIC PROTECTION: CONSTRUCTION MATERIALS/standards.

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  11. International commission on Radiological Protection. Recommendations of International Commission on Radiological Protection. Annals of the ICRP Publications 60, 1990.
Recibido: 3 de diciembre de 1996. Aprobado: 15 de marzo de 1997.

Lic. David G. Sáez. Instituto de Medicina del Trabajo. Calzada de Bejucal Km 72 Arroyo Naranjo, Ciudad de La Habana.

1 Licenciado en Física. Especialista en Física Médica. Instituto de Medicina del Trabajo.
2 Doctor en Física. Investigador Titular. Instituto Nacional de Oncología y Radiobiología.
3 Licenciada en Física. Investigador Aspirante. Centro de Control Estatal de Equipos Médicos.
4 Licenciado en Física. Investigador Agregado. Instituto de Hematología e Inmunobiología.

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